方差分析

方差分析

t检验和u检验不适用于多个样本均数的比较，而用方差分析比较多个样本均数，可以有效地控制I类错误。

方差分析（analysis of variance，ANOVA）由英国统计学家R.A.Fisher首先提出，以F命名其统计量，故方差分析又称F检验。

方差分析的基本思想是根据研究的目的和设计类型，将总变异的离均差平方和SS及其自由度v分别分解成相应的若干部分，然后求各相应部分的变异（数理统计证明，总的离均差平方和等于各部分离均差平方和之和）；再用各部分的变异与组内（或误差）变异进行比较，得出统计量F值；最后根据F值的大小确定p值，作出统计推断。

方差分析的用途很广，包括两个或多个样本均数间的比较，分析两个或多个因素间的交互作用，回归方程的线性假设检验，多元线性回归分析中偏回归系数的假设检验，两样本的方差齐性检验等。

方差分析的应用条件为：各样本需是相互独立的随机样本；各样本来自正态分布总体；各总体方差相等，即方差齐性。

方差分析基本术语

实验设计和方差分析都有自己相应的语言。

以研究某药物对某癌细胞株增殖影响的研究为例，现有两种药物：新研究药物（Treatdrug）和对照组药物（Controldrug）。

我们提取培养10个某癌细胞株作为研究对象，随机分配一半癌细胞株接受为期96h的Treatdrug治疗，另一半接受为期96h的Controldrug治疗。研究结束时，对两组细胞株的细胞抑制率进行评估。

在这个实验设计中，治疗方案是两水平（Treatdrug和Controldrug）的组间因子，之所以称作组间因子是因为每个患者都仅被分配到一个组别中，没有患者同时接受Treatdrug和Controldrug。

细胞抑制率是因变量，治疗方案是自变量。由于在每种治疗方案下观测数相等，因此这种设计也称为均衡设计；若观测数不同，则称为非均衡设计。

因为仅有一个类别型变量，这种设计又称为单因子方差分析或进一步称为单因子组间方差分析。

方差分析主要是通过F检验来进行效果评测，若治疗方案的F检验显著，则说明96h后两种药物的细胞抑制率均值不同。

假设只对Treatdrug的效果感兴趣，则需要将10个癌细胞株都放在Treatdrug组中，然后在治疗24h和96h后分别评估疗效。此时，时间是两水平（24h和96h）的组内因子，因为每个癌细胞株在时间的所有水平下都进行了测量，因此这种设计称为单因子组内方差分析；又由于每个癌细胞株都不止一次被测量，也称作重复测量方差分析。若时间的F检验显著，则说明细胞抑制率在24h和96h间发生了改变。

现假设对治疗方案差异和它随时间的改变都感兴趣，则可以将两个设计结合起来：随机分配一半癌细胞株到Treatdrug组，另一半到Controldrug组，在24h和96h分别评估它们的细胞抑制率。治疗方案和时间都作为因子时，既可以分析治疗方案的影响和时间的影响，也可以分析治疗方案和时间的交互作用。前两个为主效应，交互部分为交互效应。在这种情况下，需要进行3次F检验，治疗方案因素1次，时间因素1次，两者的交互因素1次。若治疗方案显著，说明Treatdrug和Controldrug对癌细胞的抑制效果不同；若时间显著，表明细胞抑制率在24h和96h间发生了改变；若两种因素交互效应显著，说明两种药物随着时间变化对癌细胞的一直效果不同（即细胞抑制率从24h到96h的改变程度在Treatdrug和Controldrug之间是不同的）。

当设计中包含两个甚至更多因子时，便是多因子方差分析设计。两个因子时称为双因子方差分析，三因子时称为三因子方差分析。若因子设计包括组内因子和组间因子，又称为混合模型方差分析。

这里，即使不同的癌细胞株被随机分配到不同的治疗方案中，但在研究开始时两组癌细胞株的增殖速度可能不同，治疗后的差异可能是最初的增殖速度不同导致的，而不是实验方案的影响。增殖速度也可以解释因变量的组间差异，因此它常被称为混杂因素。如果我们在评测治疗方案类型的影响前，对组建的统计学差异进行统计性调整，将初始增殖速度作为协变量，这样的设计称为协方差分析。

当因变量不止一个时，该设计被称为多元方差分析，若还存在协变量，则称为多元协方差分析。