Python与矩阵

矩阵可以被看作是排列的向量或堆放在一起的数字。矩阵的意义非常重要，它可以作用在一个具体的向量上，使向量空间位置发生变换。

矩阵的Python表示

对于矩阵而言，最直观的描述就是一个m*n的数字方阵，它可以看作是n个m维列向量从左到右并排摆放，也可以看作是m个n维行向量从上到下进行叠放。

# 矩阵的表示：
import numpy as np
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6],
              [7, 8]])
print(A)
# 在形容矩阵的形状和规模时，一般采用其行数和列数来进行描述
print(A.shape)
# 通过矩阵A的shape属性，可以获取一个表示矩阵规模的元组对象
# 这个元组对象包含两个元素：第一个元素表示行数，第二个表示列数

[[1 2]
 [3 4]
 [5 6]
 [7 8]]
(4, 2)

前面提到，n维的行向量可以看作是一个1*n的特殊矩阵；同理，n维的列向量也同样可以看作是一个n*1的特殊矩阵。这样，一方面，可以将矩阵和向量的Python表示方法统一起来；另一方面，在接下来要介绍的矩阵与向量的乘法运算中，可以将其看作是矩阵与矩阵之间乘法的一种特殊形式，从而统一运算方式。

B=np.array([[1,2,3,4]]) #行向量；用生成矩阵的方法生成了一个1*4的矩阵，用来表示一个四维的行向量
print(B.shape)
print(B.T) #转置成列向量；因为是矩阵形式，所以可以用转置方法，得到对应的四维列向量
C=np.array([[1],
            [2],
            [3],
            [4]]) #列向量
print(C)
print(C.shape)

(1, 4)
[[1]
 [2]
 [3]
 [4]]
[[1]
 [2]
 [3]
 [4]]
(4, 1)

特殊形态的矩阵

1. 方阵：行数和列数相等的一类矩阵，称为方阵，其行数或列数称为它的阶数。

A = np.array([[1, 1, 1, 1],
              [2, 2, 2, 2],
              [3, 3, 3, 3],
              [4, 4, 4, 4]]) #4阶方阵
print(A)
print(A.shape)

[[1 1 1 1]
 [2 2 2 2]
 [3 3 3 3]
 [4 4 4 4]]
(4, 4)

2. 对称矩阵：开始介绍对称矩阵之前，先说明一下矩阵转置的概念。

   对于指定的矩阵，若将其行和列上的元素进行位置互换，即原行元素作新列，原列元素作新行，即可得到一个全新的矩阵，这个新矩阵称为原矩阵的转置矩阵，行和列互换的矩阵操作就称为矩阵的转置。

   若原矩阵和转置后新得到的矩阵相等，那么将原矩阵称为对称矩阵。由此可见，矩阵对称的前提条件是该矩阵首先必须是一个方阵；此外，对称矩阵的一个典型特征为：沿着从左上到右下的对角线，关于这条对角线相互对称的元素都是彼此相等的。

   可以说，对称矩阵是最重要的矩阵，在矩阵的相关分析中扮演极其重要的角色。

# 矩阵的转置：
import numpy as np
A = np.array([[1, 2, 3, 4],
              [5, 6, 7, 8]])
print(A)
print(A.T)
# 对称矩阵：
import numpy as np
S = np.array([[1, 2, 3, 4],
              [2, 5, 6, 7],
              [3, 6, 8, 9],
              [4, 7, 9, 0]])
print(S)
print(S.T)

[[1 2 3 4]
 [5 6 7 8]]
[[1 5]
 [2 6]
 [3 7]
 [4 8]]
[[1 2 3 4]
 [2 5 6 7]
 [3 6 8 9]
 [4 7 9 0]]
[[1 2 3 4]
 [2 5 6 7]
 [3 6 8 9]
 [4 7 9 0]]

3. 零矩阵：所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵。

A = np.zeros([5, 3])
print(A)

[[0. 0. 0.]
 [0. 0. 0.]
 [0. 0. 0.]
 [0. 0. 0.]
 [0. 0. 0.]]

4. 对角矩阵：若方阵在非对角线位置上元素全部为0，则称为对角矩阵，0元素的位置可以省去不写。

A = np.diag([1, 2, 3, 4, 5])
print(A)
print(A.T)

[[1 0 0 0 0]
 [0 2 0 0 0]
 [0 0 3 0 0]
 [0 0 0 4 0]
 [0 0 0 0 5]]
[[1 0 0 0 0]
 [0 2 0 0 0]
 [0 0 3 0 0]
 [0 0 0 4 0]
 [0 0 0 0 5]]

5. 单位矩阵/单位阵：对角位置上元素全部为1，其余位置元素均为0的特殊对角矩阵，称为单位矩阵。

I = np.eye(5)
print(I)

[[1. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 1.]]