我们前面提到：在指定矩阵的乘法作用下，原始空间中的向量被映射转换到了目标空间中的新坐标，向量的空间位置由此发生了变化，甚至在映射之后，目标空间的维数相较于原始空间都有可能发生改变。
这就引入了矩阵乘向量的一个新视角。
我们知道，向量需要设定一组具体的基底来进行自身的坐标表示。而实际上，矩阵与向量的乘法，本质上可以看作是对向量坐标表示的基底的一种改变。
当我们从列的角度来审视矩阵A与向量x的乘法运算，会发现本质上，是对矩阵A的各个列向量进行线性组合的过程，每个列向量的组合系数就是向量x的各个对应成分。
于是，可以按照列的角度重新把矩阵A写成一组列向量并排的形式，然后将其再与向量x进行乘法运算，这样一看，它所包含的几何意义就更加清楚了。即，一个矩阵和一个列向量相乘的过程可以理解为对位于原矩阵各列的列向量重新进行线性组合的过程。
向量的坐标表示需要依托于基底的选取，只有明确了基底，向量的坐标表示才有实际意义。如，我们说一个二维列向量的坐标是x和y，我们其实已经默认它的基底是二维平面的x轴和y轴正方向上的单位向量。
而矩阵与向量相乘后，我们发现，列向量的基底被变换为新的基底，正是矩阵的各列，矩阵的各列称为新的基向量。
总结一般的情况：矩阵A是m*n的一般矩阵，其中，m不等于n，而向量x是一个n维列向量，没有任何的特殊性，映射前后，列向量x的基向量维数发生了变化：原始的n维列向量x被变换了n个m维列向量线性组合的形式，最终的运算结果是一个m维的列向量。
由此可以看出，映射后的向量维数和原始向量维数的关系取决于矩阵维数m和n的关系：若m大于n，那么映射后的目标向量维数就大于原始列向量的维数，注意：即使矩阵的n个列向量线性无关，由于n个列向量不能张成m维空间，不能表示m维空间中的所有向量，所以称为m维目标空间的基底是不妥当的；若m小于n，那么目标向量的维数就小于原始列向量的维数，注意：由于列向量实现了降维，显然这n个m维列向量线性相关，因此准确地来说，不能构成基底；若m=n，则列向量的维数保持不变，此时，若n个m维向量线性无关，此时，矩阵的各列向量才能称为目标空间中的一组新基底。
矩阵A的各个列是列向量x默认基底经过转换后的目标向量，正因为存在维度和线性相关性方面的多种不同情况，所以这组目标向量的张成空间和原始列向量所在的原始空间之间就存在着多种不同的对应关系。
这也是我们后面所要介绍的空间映射的内容。