看到小白学统计发了一篇文章介绍 Beta 分布，我们也更新一篇文章解析 Beta 分布与贝叶斯。
1. 什么是 Beta 分布？
Beta 分布是一种定义在 (0,1) 区间的连续概率分布，用来描述比例或概率等数据。例如，应用于研究某事件发生的概率。它由两个参数 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 决定：
\(\alpha\) = \(\beta\) = 1：均匀分布，即所有概率值等可能。
\(\alpha\) > 1 和 \(\beta\) > 1：生成钟形分布，集中于中间。
\(\alpha\) < 1 或 \(\beta\) < 1：分布会更靠近 0 或 1。
这种灵活性使得 Beta 分布特别适合于建模那些约束在 (0,1) 之间的变量，比如成功概率、比率等。其概率密度函数为：
\[ f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)} \]
其中，B(\(\alpha\), \(\beta\)) 为 Beta 函数，相当于归一化因子，使得概率密度函数的积分等于 1。
Beta 分布广泛用于表示成功概率的先验分布，是 贝叶斯推断 中的常用工具。通过观察数据，不断更新 Beta 分布的 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 参数，进而得到后验分布。
2. 贝叶斯视角下的 Beta 分布
在贝叶斯统计中，Beta 分布通常作为 二项分布 的共轭先验分布。
当先验分布和后验分布属于同一族分布时，我们说这个先验分布是似然函数的共轭先验。共轭分布的主要优点是它们简化了后验分布的计算。
例如，如果我们有某事件的观测数据，并且希望估计成功概率 p，假设 p 的先验分布为 Beta 分布，则观测到 n 次成功和 m 次失败后，新的后验分布仍为 Beta 分布，其更新规则为：
\[ \alpha_{\text{后验}} = \alpha_{\text{先验}} + n \]
\[ \beta_{\text{后验}} = \beta_{\text{先验}} + m \]
这意味着 Beta 分布可以在贝叶斯分析中通过数据观察逐步更新。这也是小白说统计文章里例子的原理来源。
3. betareg 包的功能
betareg 包是 R 语言中用于处理 Beta 回归模型的工具，适用于 (0,1) 区间的比例数据建模。这些数据通常不适合使用传统的线性回归模型，因为响应变量的范围受到限制。Beta 回归模型假设响应变量服从 Beta 分布，提供了一种灵活的方式来处理这些约束性数据。主要功能包括：
处理边界值：如接近 0 或 1 的极端数据点。
偏差校正：特别在样本量小的情况下，能够进行精确估计。
扩展模型：支持有限混合模型，用于处理具有不同组别特征的数据。
4. Beta 回归的应用场景
Beta 回归在实际数据分析中有许多应用，尤其在以下几类问题中：
生物统计学：如疾病发病率、药物疗效等。
金融：如股票收益率、风险度量等。
市场营销：如用户转化率、广告点击率等。