问题
星球里有同学提问：
累积风险函数
在时间事件数据中，累积风险图（cumulative hazard plot）的 Y 轴表示的是累积风险函数（cumulative hazard function, \(H(t)\)）。\(H(t)\) 描述的是从起始时间到 \(t\) 时刻，某个事件发生的累积风险总和。它是通过对瞬时风险函数（即危险率，hazard rate, \(h(t)\)）在时间上的积分得到的，公式为 (Allison 2010)：
\[ H(t) = \int_{0}^{t} h(u) \, du \]
其中，\(h(t)\) 是已生存到 \(t\) 时刻的对象在 \(t\) 时刻发生事件的速率。\(H(t)\) 没有上限值，它随着时间 \(t\) 的增加而单调递增。
累积风险与 HR（风险比）的关系
HR 是比较两组（如治疗组与对照组）瞬时风险率 \(h(t)\) 的比值：
\[ HR = \frac{h_1(t)}{h_2(t)} \]
它是一个相对指标，表示某组的风险率是另一组的多少倍。对 HR 的理解，可以类比 OR 的概念，只是 HR 是在时间上的比值，而 OR 无时间信息。如果时间对事件的影响较小（比如事件发生概率很低或者随访时间很短），HR 和 OR 的数值可能接近。但在事件发生率较高时，OR 通常会高于 HR，因为 OR 夸大了实际的效应。
前面的累积风险函数 \(H(t)\) 与瞬时风险率 \(h(t)\) 紧密相关，若 HR 在所有时间上恒定（即比例风险假设成立），则累积风险函数之间的关系为：
\[ H_1(t) = HR \cdot H_2(t) \]
这意味着在比例风险假设成立的情况下，累积风险图中两组曲线的斜率比值大致等于 HR，即如果两组的 HR 恒定不变，则累积风险曲线在对数尺度下呈现平行关系。而如果 HR 随时间变化，累积风险曲线的差异会随着时间的推移而增大或缩小。从这个角度看，累积风险图可以通过曲线的趋势和两组曲线间的相对关系直观地展示 HR 的变化。